Стандартные точки параболы

Стандартные точки параболы

Функция вида hello_html_11bf069.png, где hello_html_7c601bfe.pnghello_html_m1ed0f1c4.png называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

aстарший коэффициент

bвторой коэффициент

с  — свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции hello_html_m4768385.png имеет вид:

hello_html_3a3687b9.jpg

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками — это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции hello_html_m4768385.png, составим таблицу:

hello_html_27284a60.jpg

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент hello_html_m7369197d.png, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции hello_html_m4768385.png при любых значениях остальных коэффициентов. (hello_html_11bf069.png= hello_html_m4768385.png)

График  функции hello_html_m7d0959f.png имеет вид:

hello_html_m6d1cabf2.jpg

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

hello_html_496cbc71.jpg

 

Обратите внимание, что график функции hello_html_m7d0959f.png симметричен графику функции hello_html_m4768385.pngотносительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика  функции — значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции hello_html_5f66ee65.png — это точки пересечения графика функции hello_html_45f47913.pngс осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты  точек  пересечения графика функции hello_html_45f47913.pngс осью ОХ, нужно решить уравнение hello_html_m279fcdd4.png.

В случае квадратичной функции hello_html_11bf069.png нужно решить квадратное уравнение hello_html_7b8c8403.png.

Теперь внимание!

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: hello_html_52d7d725.png, который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если hello_html_m73e37113.pnghello_html_m1ed0f1c4.png,то уравнение hello_html_7b8c8403.png не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола hello_html_11bf069.png не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если hello_html_8f83833.pnghello_html_m1ed0f1c4.png,то график функции выглядит как-то так:

hello_html_m383fae42.jpg

2Если hello_html_6115085e.pnghello_html_m1ed0f1c4.png,то уравнение hello_html_7b8c8403.png имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола hello_html_11bf069.png  имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если hello_html_8f83833.pnghello_html_m1ed0f1c4.png,то график функции выглядит примерно так:

hello_html_139cbdfe.jpg

3.  Если hello_html_m7506c0ea.pnghello_html_m1ed0f1c4.png,то уравнение hello_html_7b8c8403.png имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола hello_html_11bf069.png  имеет две точки пересечения с осью ОХ:

hello_html_6b377285.png,  hello_html_m6179356d.png

Если hello_html_8f83833.pnghello_html_m1ed0f1c4.png,то график функции выглядит примерно так:

hello_html_5dcfe5b6.jpg

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже

можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

hello_html_m3497cc71.jpg

Следующий важный параметр графика квадратичной функции — координаты вершины параболы:

hello_html_18e68c38.jpg

 

hello_html_m8efa2f9.png

hello_html_44ffd73d.png

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции — точка пересечения параболы hello_html_11bf069.png с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы hello_html_11bf069.png с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: hello_html_me0aa335.png.

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны  на рисунке:

hello_html_704a65e1.jpg

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой hello_html_11bf069.png.

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции hello_html_45cb4645.png

1. Направление ветвей параболы.

Так как hello_html_m2865c0fc.pnghello_html_m1ed0f1c4.png,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена hello_html_727724be.png

hello_html_1c6bb258.pnghello_html_12d5dff5.png hello_html_m797123b.png

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: hello_html_2616a2b8.png

hello_html_22e34e95.png,  hello_html_67ef2a38.png

3.   Координаты  вершины параболы:

hello_html_m6a796513.png

hello_html_m478dd782.png

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

hello_html_7efd8829.jpg

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

hello_html_45cb4645.png

Кррдинаты вершины параболы

hello_html_m6a796513.png

hello_html_m478dd782.png

Ближайшие к вершине точки, расположенные  слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы  соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их  в таблицу:

hello_html_168268a5.jpg

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

hello_html_2437f2a9.jpg

2.  Уравнение квадратичной функции имеет вид hello_html_m1e573c45.png — в этом уравнении hello_html_m731f33c7.png— координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции hello_html_11bf069.png hello_html_m7369197d.png, и второй коэффициент — четное число.

Построим для примера график функции hello_html_392b3cfe.png.

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции hello_html_392b3cfe.png, нужно

  • сначала построить график функции hello_html_m4768385.png,

  • затем одинаты всех точек графика умножить на 2,

  • затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,

  • а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

hello_html_60399fa4.jpg

Теперь рассмотрим построение  графика функции hello_html_m33bc810f.png. В уравнении этой функции hello_html_m7369197d.png, и второй коэффициент — четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат: hello_html_7b497b5c.png

Следовательно,  координаты вершины параболы: hello_html_6374c8a3.png. Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

hello_html_m4297f8a2.jpg

3.  Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда hello_html_m447a22ce.png

2. Координаты вершины параболы: hello_html_m62d58495.png

hello_html_m25b920a3.png

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на  координатную плоскость и построим график:

hello_html_5f5a6155.jpg

 



Source: infourok.ru


Добавить комментарий